數(shù)學(xué)家揭示“等于”在數(shù)學(xué)中具有多種含義

有一些漂亮的模糊的概念在數(shù)學(xué)中，這可能很難理解，但“等于”的含義是我們認(rèn)為我們已經(jīng)涵蓋的含義。

事實(shí)證明，數(shù)學(xué)家實(shí)際上無(wú)法就兩個(gè)事物相等的定義達(dá)成一致，這可能會(huì)給越來(lái)越多地用于檢查數(shù)學(xué)證明的計(jì)算機(jī)程序帶來(lái)一些麻煩。

這場(chǎng)學(xué)術(shù)爭(zhēng)吵已經(jīng)持續(xù)了幾十年，但最終達(dá)到了頂峰，因?yàn)橛糜凇靶问交被驒z查證明的計(jì)算機(jī)程序需要有明確、具體的指令;不是對(duì)數(shù)學(xué)概念的模棱兩可的定義，這些概念可以解釋或依賴于計(jì)算機(jī)所沒(méi)有的上下文。

倫敦帝國(guó)理工學(xué)院的英國(guó)數(shù)學(xué)家凱文·巴扎德（Kevin Buzzard）在與計(jì)算機(jī)程序員合作時(shí)遇到了這個(gè)問(wèn)題，這促使他重新審視定義“這等于那”，“挑戰(zhàn)各種關(guān)于平等的合理口號(hào)”。

“六年前，”Buzzard在他的預(yù)印本中寫(xiě)道發(fā)布到 arXiv 服務(wù)器，“我以為我理解了數(shù)學(xué)相等。我以為這是一個(gè)定義明確的術(shù)語(yǔ)......然后我開(kāi)始嘗試在計(jì)算機(jī)定理證明器中做碩士水平的數(shù)學(xué)，我發(fā)現(xiàn)相等是一個(gè)比我想象的更棘手的概念。

等號(hào) （=） 的兩條平行線優(yōu)雅地表示放置在兩側(cè)的物體之間的奇偶校驗(yàn)，是由威爾士數(shù)學(xué)家發(fā)明的，羅伯特·雷克雷，在1557年。

它一開(kāi)始沒(méi)有流行起來(lái)，但隨著時(shí)間的推移，Recorde 的出色直觀符號(hào)取代了拉丁語(yǔ)短語(yǔ)“aequalis”和后來(lái)奠定了基礎(chǔ)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)。在發(fā)明整整 400 年后，等號(hào)于 1957 年首次被用作計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言 FORTRAN I 的一部分。

平等的概念有一個(gè)更長(zhǎng)的歷史不過(guò)，至少可以追溯到古希臘。現(xiàn)代數(shù)學(xué)家在實(shí)踐中使用“相當(dāng)松散”的術(shù)語(yǔ)，Buzzard寫(xiě).

在熟悉的用法中，等號(hào)設(shè)置了描述代表相同值或含義的不同數(shù)學(xué)對(duì)象的方程式，這可以通過(guò)一些開(kāi)關(guān)和左右邏輯轉(zhuǎn)換來(lái)證明。例如，整數(shù) 2 可以描述一對(duì)對(duì)象，1 + 1 也可以。

但是，自19世紀(jì)末集合論出現(xiàn)以來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直在使用相等的第二種定義。

集合論不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)家對(duì)等式的定義也隨之?dāng)U展。像 {1， 2， 3} 這樣的集合可以被認(rèn)為是與像 {a， b， c} 這樣的集合“相等”的，因?yàn)橛幸环N稱為規(guī)范同構(gòu)的隱式理解，它比較了群結(jié)構(gòu)之間的相似性。

“這些集合以一種完全自然的方式相互匹配，數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，如果我們也稱它們相等，那將非常方便，”Buzzard說(shuō)告訴新科學(xué)家亞歷克斯·威爾金斯。

然而，將規(guī)范同構(gòu)視為平等現(xiàn)在正在造成“一些真正的麻煩”，Buzzard寫(xiě)，對(duì)于試圖使用計(jì)算機(jī)形式化證明（包括幾十年前的基礎(chǔ)概念）的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)。

“到目前為止，沒(méi)有一個(gè)（計(jì)算機(jī)）系統(tǒng)能捕捉到格羅滕迪克等數(shù)學(xué)家使用等號(hào)的方式，”Buzzard說(shuō)告訴威爾金斯指的是亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck），他是20世紀(jì)的主要數(shù)學(xué)家，他依靠集合論來(lái)描述相等性。

一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為他們應(yīng)該重新定義數(shù)學(xué)概念，以形式等同于具有相等性的規(guī)范同構(gòu)。

Buzzard不同意。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家和機(jī)器之間的不一致應(yīng)該促使數(shù)學(xué)思維重新思考他們所說(shuō)的數(shù)學(xué)概念到底是什么意思，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是平等的基礎(chǔ)，這樣計(jì)算機(jī)就可以理解它們。

“當(dāng)一個(gè)人被迫寫(xiě)下自己的真正含義，并且無(wú)法躲在這些定義不清的詞語(yǔ)后面時(shí)，”巴扎德說(shuō)寫(xiě).“人們有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)自己必須做額外的工作，甚至重新思考某些想法應(yīng)該如何呈現(xiàn)?！?/p>

該研究已發(fā)布在arXiv（阿爾希夫酒店）.

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